先说微积分吧。我个人不推荐上来就啃那种巨厚的“砖头书”,看着就头大。刚开始,你需要的是一本能让你快速上手,建立直观理解的书。 托马斯微积分 怎么样?经典是经典,但对于刚入门的大一新生来说,太硬了,不友好。我更倾向于 微积分之屠龙宝刀 。别被名字吓到,其实内容很通俗易懂,把一些关键概念讲得很清楚,而且配有很多例题,适合自学。重要的是,它会让你对微积分有个整体的把握,知道它到底在讲什么。等你对微积分有了感觉,再去看那些更深入的教材也不迟。
对了,还有 普林斯顿微积分读本 ,这本书也很不错,讲了很多微积分的技巧和应用,能帮助你更好地解决实际问题。我当时考研的时候,就靠它恶补了一段时间,效果非常好。不过,这本书需要你有一定的基础,否则可能会觉得有点难。

线性代数,这玩意儿,抽象得一批。很多人学完都不知道它到底有什么用。所以,选书的关键在于可视化和应用。 线性代数的本质 ,一定要看!这不是一本书,而是一系列视频,B站上有。用形象的动画来解释线性代数的概念,比如矩阵的几何意义,向量空间的变换等等。看完之后,你会发现线性代数其实没那么可怕,它其实是一种描述空间变换的工具。
除了视频,书的话, Introduction to Linear Algebra (Gilbert Strang) 也是经典,不过是英文的。如果英文吃力,可以找找中文翻译版。这本书的特点是注重直观理解和应用,有很多例子,而且习题也很有挑战性。做完这些习题,你会对线性代数有更深刻的理解。别只顾着做题,一定要思考每个概念背后的含义,以及它在实际问题中的应用。线性代数在计算机图形学、机器学习等领域都有广泛的应用,了解这些应用能让你更有学习的动力。
概率论与数理统计,这门课比较实用,也比较容易理解。我推荐 概率论与数理统计教程 (茆诗松)。这本书讲得很细致,而且有很多例题,适合自学。概率论的关键在于理解各种分布,比如正态分布、泊松分布、二项分布等等。要搞清楚它们的特点和应用场景。数理统计的关键在于理解各种估计方法和假设检验方法。要学会用这些方法来分析实际数据。
记得当年,我学概率论的时候,总是搞不清各种分布的区别。后来,我做了一个小项目,用 Python 来模拟各种分布的随机变量,并画出它们的直方图。通过这个项目,我对各种分布的理解一下子就深刻了很多。所以,学习概率论,一定要多动手,多做实验。
再说点别的。学数学,光看书是不够的,还要多做题。做题的时候,不要只追求速度,要注重质量。每做一道题,都要认真思考,搞清楚它的思路和解法。如果遇到不会做的题,不要轻易放弃,可以先看看答案,然后自己再做一遍,直到彻底理解为止。
还有,要积极参加讨论。和同学、老师讨论问题,能让你从不同的角度思考问题,也能让你发现自己知识上的漏洞。我以前经常和同学一起讨论数学题,有时候,一道题我们能讨论一个晚上,虽然很累,但是收获也很大。
最后,我想说的是,学数学是一个漫长的过程,不要指望一蹴而就。要保持耐心和热情,相信自己一定能学好。而且,大学数学和高中数学完全是两码事,不要抱着“我高中数学很好,大学数学肯定没问题”的想法。大学数学更注重逻辑推理和抽象思维,需要你付出更多的努力。记住,坚持就是胜利!
对了,别忘了 数学分析原理 (Walter Rudin),虽然有点难,但绝对是经典中的经典。 如果你能啃下来,那你的数学功底绝对会提升一个档次。 不过,建议在学完微积分之后再看,否则可能会觉得太吃力。把它当成一个长远目标,慢慢啃吧。相信我,啃完之后,你会感谢我的。
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